قدیمی ترین های ریاضیات

تاریخ را معمولا غربیها نوشته اند، و تا آنجا که توانسته اند آن را به نفع خود مصادره کرده اند. بنابراین نمی توان انتظار داشت نوادگان اروپائیانیکه سیاهان آفریقا را در حد یک حیوان پائین آورده و آنها را به بردگی کشانده اند، آنها را انسانهائی با سوابق کهن تاریخی و علمی معرفی نمایند.

البته این کلام مصداق کلی ندارد، و فقط اشاره به جریان حاکم در تاریخنگاری غربیها دارد.

اگر به تاریخ آفریقا نگاه کنیم،

* قدیمیترین شئ ریاضی از 35000 سال پیش از میلاد در سوازیلند کشف شده.

* قدیمیترین مثال حساب از 6000 سال پیش از میلاد در زئیر کشف شده.

* هرم عظیم گیزا که یک شاهکار مهندسی است، حوالی سال 2650 پیش از میلاد در مصر ساخته شده.

* پاپیروس مصری 4000 ساله معروف به مسکو، حاوی مطالبی از هندسه است.

لازم به اشاره است که، یونانیان نیز مبانی ریاضی را از بابلیان به ارث برده‌اند.

ریاضیات مدون در حدود 2000 سال قبل از میلاد مسیح ، توسط بابلیان بوجود آمد .

در آن زمان بابلیان نتایج جبر مقدماتی را یکجا جمع کردند.

اما ریاضیات به مفهوم واقعی و امروزی آن ، در سرزمین یونان و در قرنهای 4 و 5 قبل از میلاد ایجاد شد.

به تدریج توسعه یافت، اوج رشد آن در قرن 17 با بوجود آمدن هندسه تحلیلی و حساب دیفرانسیل و انتگرال بود. اما در قرن 19 تجدید نظر کلی و پیشرفتهای فراوان در این علم بوجود آمد.

در فصل امتحانات قرار داریم و معمولا برای درک بهتر درس و قرار گرفتن در محیط امتحان ، تجربه تمرینهای مکرر بر روی نمونه سوالات سال های قبل خیلی کمک خواهد کرد . به همین علت بانک سوالی را برای این وبلاگ تهیه کرده ام  که می تواند به شما کمک کند

بانک سوال وبلاگ با چند نمونه سوال از سال دوم و سال سوم بروز رسانی شد

لطفا ببینید

همایش ریاضی خانه ریاضیات انزلی

دیروز ( بیست و ششم آذر ماه هزار و سیصدو هشتاد و هفت ) همایش یک روزه ای در خصوص روشهای نوین اثبات قضیه فیثاغورث در خانه ریاضیات انزلی برگزار شد و من نیز به واسطه دو اثباتی که فرستاده بودم به این همایش دعوت شدم ، اتفاق غیر منتظره ای که رخ داد دیدار نزدیک با  پرویز شهریاری بود ، ایشان چند دقیقه ای صحبت کردند که بسیار جالب بود  شیوای کلام ایشان در همان چند دقیقه ای که صحبت کردند پیدا بود استاد شهریاری  کمی به تاریخ ریاضیات در ایران اشاره کرد و سخنانش رو به پایان بردند  .  با توجه به سنشان ( 83 سال ) توان زیادی برای سخن گفتن نداشتند ، ولی همان چند دقیقه هم شیرین و شنیدنی بود .

سالشمار زندگی استاد پرویز شهریاری رو ببینید

در این همایش از یک استاد تاریخ ریاضیات از یونان هم دعوت شده بود که نزدیک به یک ساعت سخنرانی کرد و نمونه هائی از اثبات های یونانی ، عربی و چینی را نشان داد و با هم مقایسه کرد که جالب و شنیدنی بود، در رفتار این استاد یونانی چیزی بیشتر مشهود بود  راحتی بسیار زیادش بود  او و همراهش که احنمالا همسرش بود بارها از سالن خارج شدند و اصلا سر جایشان بند نمی شدند . در حالی که در یک کشور غریبه مهمان بودند .

همایش از ساعت 2 شروع و تا ساعت 5/5 ادامه یافت که تجربه خوبی بود

دو اثباتی که من برای این همایش فرستاده بودم در اینجا گذاشتم دانش آموزان ببینند بد نیست

نسبت طلائی

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام “نسبت طلایی” یا Golden Ratio.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a²=a*b+b² را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا” 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یاEgyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا” 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادل  فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند  i²=phi+b² خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا” عدد طلایی را با phi نمایش می دهند )

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا” معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : “هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فيثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلايي می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد”.

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

**********************************************

منبع :

وبلاگ گروهی معلمان ریاضی

***********************************************

آیا میدانید که مورچه ها هم حساب می دانند

دانشمندان درباره انواع مختلف مورچه ها مطالعه كرده وبه اين نتيجه رسيده اندكه هر نوع مورچه ای طريقه مخصوصي درپيدا كردن راه لانه اش دارد مثلا” بعضي از مورچه ها از طريقه نشانه گذاری در روی زمين استفاده ميكنند ، دسته ديگر از مورچه ها با نگاه كردن به ارتفاع خورشيد و در بالای افق راه خود را مي يابند بعضي ديگر از مورچه ها هم از نشانه های روی زمين و هم از خورشيد كمك ميگيرند دانشمندان اين را با تجربه هایي ثابت كرده اند. آنها ابتدا روی يك مورچه نشانه گذاری كردند و سپس آن را بحال خود گذاشتند و شروع به تعقيب آن نمودند و بعد از آنكه مورچه تكه خوراكي پيدا كرد و خواست كه به لانه اش برگردد ، آنها آن را بلند كرده و نقطه ديگری كه درست مخالف لانه اش بوده قرار دادند در اين حالت مورچه نمي توانسته از آفتاب كمك بگيرد چون كه به نظر آن ظاهرا” آفتاب در يك جای ديگر بود. بنابراين ابتدا مورچه مدتي سرگردان شده و شروع به اينطرف و آنطرف رفتن نمود. ولي بالاخره با يافتن يك نشانه زميني بخانه خود رسيد دانشمندان با تعيين و حساب وقت اين آزمايشها به اين نتيجه رسيده اند كه بعضي اوقات يك مورچه ممكن است چندين ساعت برای پيدا كردن نشانه زميني كه راهنمای او در رسيدن به لانه اش ميباشد ، به جستجو بپردازد و در آخر مورچه هائي وجود دارند كه با بو كشيدن لانه خود را ميابند.

دانشمندان طی یک آزمایش عجیب ،برای دسته ای از مورچگان کفشهاي که پاهای آنها را بلند می کرد تهیه کردند و رفتار حرکتی آنها را بررسی كردند، نتیجه بیانگر این نکته بود که مورچه ها برای اندازه گیری مسافت های مختلف و جهت يابي، قدمهايشان را مي شمرند.و در واقع حساب بلدند .

101درصد

101درصد؟

اصلا چه معنی میده بیش تر از 100 درصد ؟

چطوری میشه به بیشتر از 100 درصد دست پیدا کرد ؟

100 درصد تو زندگی چه معنی ای میده ؟

اینجا یه فرمول کوچیک ریاضی هست که ممکنه کمکتون کنه ؟
اگر :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

میشه جاش شمارشو نوشت :

1234567891011121314151617181920212223242526

اگر :

H A R D W O  R  K

8+1+18+4+23+15+18+11

اعداد رو جمع بزنید !!! جمعشون میشه 98

و:

K N O W L E  D G E

11+14+15+23+12+5+4+7+5

دوباره  اعداد رو جمع بزنید !!! جمعشون میشه  96

اما :

A T T I T U D E

1+20+20+9+20+21+4+5

این بار که اعداد رو جمع می زنید می بینید که میشه 100

حالا ببینید عشق به خدا شما رو به چه عددی میرسونه :

L O V E  O F G O D

12+15+22+5+15+6+7+15+4

بنابراین ، بر اساس ریاضی میشه اینطوری نتیجه گیری کرد که :

وقتی که کار سخت و دانایی شما رو بهش نزدیک میکنه ، طرز برخورد شما رو بهش میرسونه و لی عشق به خداست که شما رو به بالای همه اینها میرسونه !!!

بر گرفته از وبلاگ ریاضی منشا زیبائی

نمونه سوال

دانش آموزان و اولیای گرامی ، نمونه سوال آزمونهای سالهای گذشته درس ریاضی رو در سه دسته

1- آزمونهای نهائی و نیمسال

2- امتحانات کلاسی

3- سوالات تمرینی و مسابقات

طبقه بندی کردم و در بانک سوال قرار دادم، فکر میکنم که مورد توجه قرار بگیرد .

کلیک کنید تا ببینید

ارتباط آن لاین و آفلاین با اولیاء

        ارتباط اولیاء با مدرسه و دبیران و آگاهی و پیگیری درس و فعالیت های آموزشی نقش بسزا و تعیین کننده ای در پیشرفت تحصیلی دانش آموزان دارد. در عصر حاضر مراجعه اولیاء به مدرسه کم شده و تعدادی زیادی از اولیاء طی سال حتی یک بار هم به مدرسه سر نمی زنند تا چه رسد به ارتباط مستمر . 

        از مهمترین دلایل کمرنگ شدن این ارتباط ، می توان به مشغله زیاد ، ساعات کاری طولانی و چند شغله بودن پدران خانواده  و همچنین شاغل بودن زنان خانواده را نام برد که خود به تنهائی باعث می شود فرصت کمتری برای آنها جهت مراجعه به مدرسه پیش بیاید . البته موضوع مطرح شده فوق جای بحث و کارشناسی و تبادل نظر زیادی را می طلبد که از حوصله این وبلاگ خارج است .  

      با توجه به گسترش IT  و اینترنیت  همچنین امکان دسترسی به کامپیوتر می توان این مشکل را تا حدودی حل کرد . وسیله ای که در اکثر خانواده ها وجود دارد و در بسیاری از موارد، استفاده نادرست از آن میشود و کودکان و نوجوانان دائماً با این دستگاه مفید و با ارزش  در حال بازی هستند ، به این منظور از سال گذشته تصمیم به ایجاد یک وبلاگ گرفتم تا هم مطالب خواندنی و جالب ریاضی و هم نمونه سوالات مناسب دانش آموزان و . . .  را به وسیله آن ارائه نمایم تا علاقه و اشتیاق آنها را به یاذگیری ریاضی افزایش دهم ، در این راستا فرصتی پیش آمد که یک نوع ارتباط آنلاین و آفلاین در ساعات منزل ، با دانش آموزان و اولیای آنها برقرار شود  .

      امثال نیز همانند سال گذشته یک روز در هفته ( یکشنبه )  را بصورت آنلاین با شما خواهم بود و همچنین در تمامی ساعات هفته از طریق وبلاگ بصورت آفلاین ارتباطم را با شما حفظ خواهم کرد.

        توجه : شما می توالنید روزهای یکشنبه از ساعت 8 الی 9 شب بصورت آنلاین از طریق یاهو مسنجر و با آی دی  mathblog  با من در ارتباط باشید و همچنین امکان جدیدی را که امسال برای این وبلاگ در نظر گرفتم صفخه پرسش و پاسخ با اولیاءاست که در قسمت صفحات وبلاگ به آن دسترسی خواهید داشت و اولیاء میتوانند در آن صفحه نظرات و پرسشهای خود را مطرح و جواب دریافت کنند. فکر می کنم که  اولیاء بتوانند از این صفحه بهره برداری مفیدی داشته باشند.

اگر مایلید این صفحه را ببینید کلیک  کنید .   

سه موضوع خواندنی

اعداد و آدمها :

با نگاه به تاریخ زندگی برخی اشخاص برجسته ، میتوان مشاهده کرد اعداد خاصی در زندگی آنها نقشی اساسی یا حتی سرنوشت ساز به عهده داشته است

مثل عدد 14 که در زندگی هانری چهاردهم پادشاه فرانسه نقش زیادی به عهده داشته است

·         نام او  14 حرف دارد .

·         در 14 دسامبر 1553 به دنیا آمد .

·         مجموع رقمهای سال تولد وی برابر 14 میشود .

·         در 14 مه سال 1610 کشته شد

·         سال مرگ وی مضربی از 14 است

·         در فرانسه به اندازه 3 ضرب در 14 سال  حکومت کرد

·         قاتل وی را درست بعد از 14 روز از جنایت اعدام کردند .

******

پالیندرم :

یک پالیندرم ، کلمه یا جمله ایست که برعکسش هم خودش باشد ( مثل توت و ساس ) . در ریاضیات نیز عباراتی وجود دارد که میتوان آن را پالیندرم خواند مثل : 17171 و 10001 و  11011 و  . . .

نمونه های پیچیده تری هم از حاصل جمع و حاصلضرب وجود دارد و نه دقیقا مانند مثالهای قبل بلکه بصورت زیر :

9 _*  9  =  81      ——       18  =  9 + 9

24 _*  3  =  72      —       27  =  24 + 3

47 _*  2  =  94      —       49  =  47 + 2

******

حفره های سیاه در  ریاضیات :

یک عدد طبیعی دلخواه را در نظر بگیرید و ان را بحروف بنویسید ، تعداد حروف آن را بشمارید و بار دیگر به صورت حروفی بنویسید و این عمل را ادامه دهید .

دو ———– سه  ———— پنج        

  دو ———– شش ———–  پانزده ———– هزارو هفتادو چهار        

2 یک حفره سیاه است اعداد دیگر را خودتان امتحان کنید :

جالب است بدانید که در زبان انگلیسی به جای عدد 2 عدد 4 بدست می آید .

تاریخچه عدد صفر

یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.

اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.

هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، … بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.

بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار  نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (“) بود. مثلاً عدد6″21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد “216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم.  به این ترتیب به این مطلب  پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.

البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند که درجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.

البته بعضى ازریاضیدانان یونانی  ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.

هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.

اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .  

این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.

بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.